លំហាត់ទី១៣

ក. នៅក្នុង​តម្រុយ​អតូណរម៉ាល់​មាន​ទិស​ដៅ​វិជ្ជមាន​ $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ គេឲ្យ​ចំណុច​បី​គឺ $A(2,2,1)$ , $B(4,-2,0)$ , $C(3,1,1)$ និង $D(1,5,2)$ ។ បង្ហាញ​ថា​ចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម​​រួច រក​ផ្ទៃ​ក្រឡាប្រលេឡូក្រាម​នេះ ។
ខ. រក​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃបន្ទាត់​ដែល​កាត់​តាម $A(2,2,1)$ និង $B(4,-2,0)$ ។
គ. រក​សមីការ​ប្លង់​ដែលកាត់​តាម​ចំណុច​ $A(2,2,1)$ , $B(4,-2,0)$ , $D(1,5,2)$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី១២

   នៅក្នុង​តម្រុយ​អតូណរម៉ាល់​មាន​ទិស​ដៅ​វិជ្ជមាន​ $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ គេឲ្យ​ចំណុច​បី​គឺ $A(1,0,1)$ , $B(0,2,2)$ និង $C(2,1,0)$ ។
1. បង្ហាញ​ថា​ត្រី​កោណ $ABC$ ជា​ត្រីកោណ​កែង​ត្រង់​កំពូល $A$ ។
2. គណនា $\vec n=\vec{AB}\times \vec{AC}$ រួច​រក​សមីការ​ប្លង់ $ABC$ ។
3. រក​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃបន្ទាត់ $d$ ដែល​កាត់​តាម $D(1,-1,3)$ ហើយ​កែងនឹង​ប្លង់​ $ABC$​ ត្រង់ $M$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី១១

   គេ​ឲ្យ​ចំណុច​ $M(-1,0,1)$ , $N(0,1,2)$ និង $P(1,2,-1)$ ស្ថិត​នៅក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់​មាន​ទិស​ដៅវិជ្ជមាន $(O,\vec i, \vec j,\vec k)$ មួយ ។ ប្លង់ $\alpha$ មួយ​មាន​សមីការ​ $x-2y+z-4=0$ ។
ក. រក​កូអរ​ដោនេ​នៃ $\vec n=\vec{MN}\times\vec{MP}$ ហើយទាញ​រក​សមីការ​ប្លង់​ $\beta$ ដែល​កាត់​តាមចំណុច​ $M,N$ និង $P$ ។
ខ. រក​សមីការ​ស្វ៊ែរ $S$ មួយ​ដែល​មាន​ផ្ចិត​ $M$ ហើយ​កាត់​តាម $N$ ។ តើប្លង់ $\alpha$ ជួប​នឹង​ស្វ៊ែរ $S$ ឬទេ?

អានបន្ត

លំហាត់ទី១០

   ក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់​មាន​ទិស​ដៅវិជ្ជមាន​ $(O,\vec i, \vec j, \vec k )$ គេមាន​ចំណុច​​ $A(1,2,4)$ , $B(2,-1,3)$ និង $C(-2,3,-2)$ ។
1.​ រក​សមីការ​ស្តង់ដា​នៃ​ស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមាន​ផ្ចិត​ $A$ និង​កាំ​ $r=\dfrac{1}{2}\|BC\|$ ។ រក​សមីការ​ទូទៅ​នៃប្លង់​ $P$ ដែល​មាន​វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{AC}$ ហើយកាត់​តាម​ចំណុច​ $B$ ។ រក​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃ​បន្ទាត់ $d$ ដែល​កាត់​តាម​ចំណុច​ $C$ ហើយ​មាន​វ៉ិច​ទ័រ​ប្រាប់​ទិស $AB$ ។
2. រក​ចម្ងាយ $D_{BA}$ ពី​ចំណុច $B$ ទៅ $A$ ។ រក​ចម្ងាយ​ $D_{Bd}$ ពី​ចំណុច $B$ ទៅបន្ទាត់ $d$ ។ រក​ចម្ងាយ​ $D_{DP}$ ពី​ចំណុច​ $D(3,-3,-3)$ ទៅ​ប្លង់ $P$ ។
3. រក​ផ្ទៃ​ក្រឡា​របស់​ប្រលេឡូក្រាម​ និង​ផ្ទៃ​ក្រឡារបស់​ត្រីកោណដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ $\vec{CA}$ និង $\vec{BC}$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៩

   នៅក្នុង​តម្រុអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅ​វិជ្ជមាន $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ គេ​ឲ្យ​ចំណុច​ $A(-1,2,1)$ , $B(1,-6,-1)$ និង $C(2,2,2)$ ។
១. គណនា​ $\vec n=\vec{AB}\times \vec{AC}$ ។ កំណត់​សមីការ​ប្លង់​ $(P)$ ដែល​កាត់​តាម​ចំណុច​ $A,B$ និង $C$ ហើយ​មានវ៉ិចទ័រ​ណរម៉ាល់ $\vec n$ ។ កំណត់​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃ $(d)$ កាត់​តាម​ចំណុច​ $J(-2,0,0)$ និងមាន​វ៉ិចទ័រ​ប្រាប់ទិស​ $\vec u(3,0,1)$ ។
២. រក​កូអរ​ដោនេ​នៃ​ផ្ចិត​ $I$ និង​កាំ $r$ នៃ​ស្វ៊ែរ $(S)$ ដែល​មាន​សមីការ $x^2+y^2+z^2$ $-2y+2z-2=0$ ។ រក​កូអរ​ដោនេ​នៃ​ចំណុច​ប្រសព្វ​រវាង​ $(S)$ និង​បន្ទាត់​ $(d)$ ។
៣. គណនា​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ត្រីកោណ $ABC$ ។​ គណនាចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​ $D(0,1,-1)$ ទៅប្លង់ $(P)$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៨

   ក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់​មានទិស​ដៅវ៉ិចជ្ជមាន $(O,\vec i,\vec j, \vec k)$ មួយ​គេដៅ​ចំណុច​ $A(2,2,0) $ , $B(0,2,2)$ និង $C(1,0,1)$ ។
1. រក​សមីការ​ស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមាន​អង្កត់​ផ្ចិត $[AB]$ ។ រក​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​ប្រសព្វ​ទាំង​ពីររវាង​ស្វ៊ែរ $(S)$ និង​បន្ទាត់ $(d)$ ដែលមាន​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​ $x=1+t$, $y=2$ និង $z=1+t$ ដែល $t$ ជា​ចំនួន​ពិត ។
2. រក​កូអរ​ដោនេ​នៃ​ផលគុណវ៉ិច​ទ័រ​ $\vec n=\vec{CA}\times\vec {CB}$ ។ គណនា​ផ្ទៃ​ក្រឡា​នៃ​ត្រីកោណ $ABC$ ។ រក​សមីការ​ប្លង់ $(ABC)$ ។
3.​ ប្លង់ $(ABC)$ ជួប $(ox)$ ត្រង់ $M$ និង​ជួប $(oz)$ ត្រង់ $N$ ។ រក​កូអរដោណេ​ចំណុច $M$ និង $N$ ។បង្ហាញ​ថា $\vec {AB}=\vec{MN}$ និង​ $\vec{MA}.\vec{MN}=0$ ។ ទាញបញ្ជាក់​ថា $ABNM$ ជា​ចតុកោណ​កែង​ ។
4. រកចម្ងាយ​ពីចំណុច​ $D(0,2,0)$ ទៅប្លង់​ $(ABC)$ ។ ទាញ​រកមាឌនៃ​តេត្រាអែត $DBCA$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៧

   ក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់​មាន​ទិស​ដៅវិជ្ជមាន​ $(O,\vec i, \vec j,\vec k)$ មួយ​គេឲ្យ​ចំណុច​ $A(-1,1,0)$, $B(2,0,1)$, $C(1,2,2)$, $D(0,1,-2)$ និង​​ $M(x,y,z)$ ។
1. រក​ទំនាក់​ទំនង​រវាង $x,y$ និង $z$ ដើម្បី​ឲ្យ​ $\vec{AM}$ កែង​នឹង​ $\vec {BM}$ ។ តើ​សំណុំ​ចំណុច​នៃ $M$ ជា​អ្វី?
2. គណនា​ $\vec n=\vec {BC}\times \vec{BD}$ ។ រក​ចំនួន​ពិត​ $m$ ដើម្បី​ឲ្យ​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ $S$ នៃ​$\triangle ABC$ ផ្ទៀងផ្ទាត់​សមភាព $S=\sqrt[3]{e^m}$ ។
3. រក​សមីការ​ប្លង់​ $(BCD)$ ។រក​កកូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​ប្រសព្វ $N$ រវាង​ប្លង់​ $(BCD)$ និង​ បន្ទាត់ $(L): \dfrac{x-1}{1}$ $=$ $\dfrac{y+1}{-1}$ $=$ $\dfrac{z}{1}$
4. គណនា​ចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​ $A$ ទៅ​ប្លង់ $(BCD)$ រួចទាញរក​មាឌ​នៃ​តេត្រាអែត $ABCD$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៦

   នៅ​ក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរ​ម៉ាល់​​មានទិស​ដៅវិជ្ជមាន $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ គេ​ឲ្យ​ចំណុច​ $S(0,0,3)$ និង​វ៉ិចទ័រ $\vec U(1,1,1)$ ។
1. រក​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃ​បន្ទាត់ $(D)$ ដែល​កាត់​តាម​ចំណុច​ $S$ ហើយ​ស្រប​នឹង​វ៉ិច​ទ័រ $\vec U$ ។
2. $M(x,y,z)$ ជាចំណុច​មួយ​នៅក្នុង​តម្រុយ​ $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ ។ គណនា​​ផល​គុណស្កាលែ​ $\vec{U}.\vec{SM}$ ។ កំណត់​សមីការមួយ​ដែល​ជាប់ទាក់ទង​នឹង​ $x,y,z$ ដើម្បីឲ្យវ៉ិច​ទ័រ $\vec{SM}$ អរតូកូណាល់នឹង $\vec U$ ។ តើ​សំណុំ​ចំណុច​ $M$ ហៅ​ជាអ្វី ?
3. គេ​ឲ្យ​ចំណុច​ $A(3,0,0)$ និង $B(0,3,0)$ ។បង្ហាញ​ថា​ត្រីកោណ $SAB$ ជា​ត្រីកោណ​សម័ង្ស ។
4. គណនា​ផលគុណ​វ៉ិច​ទ័រ $\vec {SA}\times \vec{SB}$ ។ ទាញរក​ផ្ទៃក្រឡា​ត្រីកោណ​ $SAB$។
5. រក​សមីការ​ស្វ៊ែរដែលមាន​ផ្ចិត $O$ ហើយ​កាត់តាម​ចំណុច​ $S,A$ និង $B$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៥

   នៅ​ក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរ​ម៉ាល់ $(O;\vec i ,\vec j , \vec k)$ គេ​ឲ្យ​ចំណុច​ $A(1,0,1)$ និង​វ៉ិចទ័ $\vec{AB}(-1,2,1)$ ។
1. គណនា​កូអរដោនេ​ចំណុច $B$ ។ រក​សមីការ​ប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់​តាម $A$ ហើយ​កែង​នឹង​ $\vec{AB}$ ។
2. គេឲ្យ​ចំណុច​ $C(2,1,0)$ និង​ $D(1,3,1)$ ។ រក​កូអរ​ដោនេនៃ​វ៉ិចទ័រ $\vec{AC}$ និង $\vec{CD}$​ ។ គណនា $\vec{AB}.\vec{AC}$ រួច​បង្ហាញថា $ABCD$ ជាចតុកោណ​កែង ។
3. គណនា​ $\vec{AB}\times\vec{AC}$ ។ រួច​ទាញរក​ផ្ទៃ​ក្រឡា​​នៃចតុកោណ​កែង $ABCD$ ។
4. រក​មាឌ​ចតុមុខ​ $OABC$ ។ ទាញ​រក​ចម្ងាយ​ពី​ $O$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៤

   នៅ​ក្នុង​លំហ​ប្រដាប់​ដោយ​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់មាន​ទិសដៅ​វ៉ិជ្ជមាន $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ គេ​ឲ្យ​ចំណុច​ $A(0,2,2)$ និង​បន្ទាត់ $(D)$ ដែលមាន​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត $\left\{\begin{align} &x=1+t\\ &y=1-t\\ &z=2-t , (t\in\mathbb{R}) \end{align} \right.$
១. បង្ហាញ​ថា​ប្លង់ $(P):$ $x-y-z+4=0$ កាត់​តាម​ $A$ ហើយ​កែង​នឹង​បន្ទាត់​ $(D)$
២. ប្លង់​$(P)$ កាត់អក្ស័​ $\vec{OX} $ត្រង់ $M$ , $\vec {OY}$ ត្រង់ $N$ , $\vec{OZ}$ ត្រង់ $P$ ។ រក​កូអរ​ដោនេ​នៃ​ចំនុច $M,N$ និង $P$ រួច​សង់​ចំណុច​ $A,M,N,P$ នៅក្នុង​តម្រុយ $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ ។
៣. បង្ហាញ​ថា​ត្រីកោណ​ $MNP$ ជា​ត្រីកោណ​សម័ង្ស ។
៤. គណនា​ $\vec{MP}\times\vec{MN}$ រួចទាញ​រកផ្ទៃ​ក្រឡា​នៃត្រីកោណ​ $MNP$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី៣

   ក្នុង​លំហ​ប្រដាប់​ដោយ​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់វិជ្ជមាន​ $(O,\vec i ,\vec j, \vec k)$ មាន​ទិស​ដៅ​វិជ្ជមាន​ គេឲ្យ​ចំណុច​ $A(3,2,0)$ និង​ $K(0,-1,3)$ ។
1. រក​សមីការ​ប្លង់​ $(P)$ ដែល​កាត់​តាម $A$ ហើយ​កែង​នឹង​បន្ទាត់​ $(AK)$ ។
2. គេ​ឲ្យ​ចំណុច $B(5,0,0)$ , $C(0,5,0)$ និង $D(0,0,-5)$ ។ ផ្ទៀង​ផ្ទាត់​ថា​ចំណុច​ $B,C$ និង $D$ ជាចំណុច​របស់​ប្លង់ $(P)$ ។
3. គណនា​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ត្រីកោណ $BCD$ ។
4. គណនា​ប្រវែង $AK$ រួចទាញ​រកមាឌ​នៃ​តេត្រាអែត $KBCD$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី២

១. នៅក្នុង​តម្រុយ​អរតូណរម៉ាល់ $(O,\vec i , \vec j , \vec k)$ មាន​ទិស​ដៅ​វ៉ិច​មាន​ (ឯកតា​លើអ័ក្សស្មើ $1cm$ )​ ចូរ​ដៅចំណុច​ $A(2,0,2)$ , $B(1,2,0)$ , $C(0,2,3)$ ។
២. រក​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃបន្ទាត់​ $(L)$ ដែល​កាត់​តាម $A$ ហើយ​ស្រប​និង​ $\vec{BC}$ ។
៣. គណនា​$\|\vec{AB}\|$ និង $\|\vec{AC}\|$ ប្រាប់​ប្រភេទ​ត្រី​កោណ​$ABC$ ។
៤. គណនា $\vec{AB}\times \vec{AC}$ ។ ទាញ​ថា​ចំណុច​ $ A , B , C$ មិន​ស្ថិត​នៅលើ​បន្ទាត់​តែមួយ​ រក​សមីការ​ប្លង់​ $(ABC )$ ។ គណនា​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ត្រីកោណ $ABC$ ។
៥. រក​មាឌ​នៃតេត្រាអែត $OABC$ ។ ទាញរក​ចម្ងាយ​ពី $O$ ទៅ​ប្លង់​ $ABC$ ។

អានបន្ត

លំហាត់ទី១

  នៅក្នុង​តម្រុយ​អរតូណ​ម៉ាល់ $(O,\,\vec i\,,\vec j ,\,\vec k)$ ដែល​មាន​ទិសដៅ​​វិជ្ជមាន​ គេឲ្យ​ចំណុច​ $A(3,0,1)$ , $B(2,4,0)$ និង $C(0,3,3)$ ។
ក. រក​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត​នៃ​បន្ទាត់​ $(D)$ ដែល​កាត់​តាម​ $O$ និង​មានវ៉ិចទ័រ​ប្រាប់​ទិស $\vec{u}(1,1,1)$ ។
ខ. គណនា​ផលគុណវ៉ិច​ទ័រ​ $\vec{AB}\times \vec{AC}$ ។ ទាញ​ថា​ចំណុច​ $ A, B, C$ មិន​រត់​ត្រង់​ជួរ​គ្នា ។
គ. រក​សមីការប្លង់ $(ABC)$ ដោយ​យកវ៉ិចទ័រ​ណរម៉ាល់ $\vec n = \vec{AB}\times \vec{AC}$ ។
ឃ. គណនា​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ត្រីកោណ​ $ABC$ ។
ង. រក​កូអរ​ដោនេ​ចំណុច​ប្រសព្វ​រវាង​បន្ទាត់ $(D)$ និង​ ប្លង់ $(ABC)$ ។

អានបន្ត